ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS - Ejemplo

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

¿ Que son las identidades trigonométricas fundamentales ? 

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas). Notación: se define sen²α como (sen α)².

Ejemplo:

.Para resolver ecuaciones trigonométricas se tiene que tender en cuenta las siguientes identidades y ángulos :

Identidades trigonométricas básicas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para cada valor de las variables involucradas.

Algunas de las identidades trigonométricas más comúnmente usadas se derivan del teorema de Pitágoras , como las siguientes:

Ejemplo:

Simplifique la expresión usando identidades trigonométricas.

Reescriba tan como sin/cos.

Usando la identidad pitagórica fundamental, obtenemos

Identidades para la suma y diferencia de ángulos

En ocasiones resulta conveniente calcular razones trigonométricas de ángulos que son suma o diferencia de ángulos conocidos, a continuación presentamos tales identidades

Identidades para la suma

sen(α + β ) = sen(α)cos(β ) + cos(α)sen(β )

Sabemos que sen(x)=cos(90° − x) Si aplicamos esta propiedad a sen (α + β ), obtenemos: $sen$ ( α + β ) $=$ cos ( 90° - ( α + β ) ) $=$ cos ( 90° - α - β ) Reagrupando $=$ cos ( ( 90° - α ) - β ) Aplicando el coseno de la diferencia de dos ángulos $=\cos$ ( 90° - α ) cos ( β ) + sen ( 90° - α ) sen ( β ) Aplicando nuevamente las identidades de co-función $=\mathrm{sen}$ ( α ) cos ( β ) + cos ( α ) sen ( β ) Finalmente : $$\mathrm{sen}$$ ( α + β )=sen ( α ) cos ( β ) + cos ( α ) sen ( β )

Identidades para la diferencia

sen (a +/- b) =sen(a)xcos(b) +/- cos(a)x sen(b)

cos (a +/- b) = cos(a)x cos(b) -/+ sen(a) x sen (b)

tg (a +/ - b) = tg(a) +/- tg(b) / 1+/- tg (a) x tg (b)

Identidades para el ángulo doble

sen (2 a ) = 2 . sen a . cos a
cos (2 a ) =cos 2 a - sen 2 a = 1 -2 cos 2 a 
tan ( 2 a ) = 2 . tan a / 1 - tan2 a

Identidades para el ángulo medio

sen  a/2= rain  1- cos a /2

cos a2 = rain q + cos a /2

tan a /2 = rain q - cos a / 1 + cos a 

Identidades pitagóricas

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$sine, start superscript, 2, end superscript, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, cosine, start superscript, 2, end superscript, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, 1

Esta identidad es válida para todo valor real de $\theta$theta. Se obtiene al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma en el círculo unitario para cada $\theta$theta.

cos2  a + sen 2 a = 1
sec2 a = 1 + tan2 a
csc2 a = 1 + ctg2 a

 identidades trigonométricas reciprocas

 son aquellas consideradas inversas de las fundamentales por ejemplo 

sen=Cateto-opuesto/Hipotenusa 

su reciproca es:

csc=Hipotenusa/Cateto Opuesto

en otras palabras la reciproca de las identidades fundamentales son las mismas identidades pero escribiendo el numerador en donde va el denominador y viceversa.

Ejemplo

IDENTIDADES  DE COCIENTE

identidades de cociente

Identidades trigonométricas de cociente. Las identidades trigonométricas de cociente son dos: tangente y cotangente y tienen la propiedad de relacionar, por medio de un cociente, las funciones trigonométricas seno y coseno.

EJEMPLO

Función	Cociente
Tangente A	La razón de seno x entre coseno de x se cumple para:
Cotangente A	La razón de coseno x entre seno x se cumple para:

Ángulos opuestos por el vértice

Dos ángulos opuestos por el vértice son los ángulos opuestos

cuando se cruzan dos líneas

En este ejemplo, a° y b° son ángulos opuestos por el vértice. Lo interesante es que ángulos opuestos son iguales: a° = b° (de hecho son congruentes)

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados (un ángulo recto).

Estos dos ángulos (40° y 50°) son ángulos complementarios, porque suman 90°. Fíjate en que juntos hacen un ángulo recto.
Pero los ángulos no tienen por qué estar juntos. Estos dos son complementarios porque 27° + 63° = 90°

Ángulos suplementarios

Dos angulos son suplementarios si suman 180 grados.

Estos dos ángulos (140° y 40°) son ángulos suplementarios, porque suman 180°. Fíjate en que al ponerlos juntos tenemos un ángulo llano.
Pero no hace falta que los ángulos estén juntos. Estos dos son suplementarios porque 60° + 120° = 180°

Ángulo negativo

Ecuaciones para resolver ángulos negativos

sen (-x) = -sen x 

cos (-x) = cos x 

tag (-x) = -ty x

con estos items  se sigue el tema de ecuaciones trigonométricas

gracias.....